Question

（2010•上海模擬）以下有四個命題：
①一個等差數列{a_n}中，若存在a_k+1＞a_k＞O（k∈N），則對于任意自然數n＞k，都有a_n＞0；
②一個等比數列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜O（k∈N），則對于任意n∈N，都有a_n＜0；
③一個等差數列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜0（k∈N），則對于任意n∈N，都有a_n＜O；
④一個等比數列{a_n}中，若存在自然數k，使a_k•a_k+1＜0，則對于任意n∈N，都有a_n．a_n+1＜0；
其中正確命題的個數是（　　）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個

Answer 1

分析：對四個選項逐個加以判別：根據等差數列的通項公式和它的性質，可得①是正確的而③是不正確的；根據等比數列的通項公式及其性質，可得②和④是正確的．由此不難得出正確的答案．

解答：解：對于①，等差數列{a_n}中，若存在a_k+1＞＞O（k∈N），
說明數列的公差d＞0，且第k項為正數，說明從第k項往后各項均大于a_k為正數
則對于任意自然數n＞k，都有a_n＞0，故①是正確的；
對于②，等比數列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜O（k∈N），
根據等比數列奇數項符號相同、偶數項符號也相同的規律，
知此等比數列的所有項均為負數，對于任意n∈N，都有a_n＜0，故②是正確的；
對于③，一個等差數列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜0（k∈N），
有可能它的前面有限項為正，而公差為負，如：5，3，1，-1，-3，-5，…
所以結論：對于任意n∈N，都有a_n＜O不成立，故③是不正確的；
對于④，等比數列{a_n}中，若存在自然數k，使a_k•a_k+1＜0，
說明這兩項一個為正數，另一個為負數，則它公比q＜0
由此，對于任意n∈N，都有a_n．a_n+1=a_n²q＜0，故④是正確的；
故正確的命題是①②④
故選D

點評：本題以等差數列和等比數列為例，考查了命題真假的判斷，屬于基礎題．熟練掌握等差、等比數列的通項與性質，是解決好本題的關鍵所在．