Question

【題目】已知函數

（1）求函數的極值點；

（2）當時，當函數恰有三個不同的零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，無極值點；當時，有極大值點，無極小值點；（2）

【解析】

（1）求出，對或是否恒成立做為分類討論標準，若不恒成立，求出單調區間，進而求出極值，得出結論；

（2）求出，要使函數有三個零點，有兩個大于零的解，求出的范圍，設為兩個大于零的解，且有，不妨設，而，只需求出在各存在一個零點的范圍，即可求出結論.

（1）因為所以，

所以，

當時，，所以函數無極值點；

當時，令，解得.

由，解得；由，解得.

故函數有極大值點，無極小值點.

綜上，當時，函數無極值點；

當時，函數有極大值點，無極小值點.

（2）當時，，

所以，

設，則

①當即時，，所以在單調遞減，

所以不可能有三個不同的零點；

②當即時，有兩個零點

，，

所以又因為開口向下，

當時，，所以在上單調遞減；

當時，，所以在上單調遞增；

當時，，所以在上單調遞減.

因為，又，所以，

令

則.

所以在單調遞增，

所以，即.

由零點存在性定理知，在區間上有唯一的一個零點.

又，所以.

所以，所以在區間上有唯一的一個零點，

故當時，存在三個不同的零點.

故實數的取值范圍是.