Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足 

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

，則u=

x2+y2

xy

的取值范圍是（　　）

• A、[2，

  5

  2

  ]
• B、[

  5

  2

  ，

  10

  3

  ]
• C、[2，

  10

  3

  ]
• D、[

  1

  4

  ，4]

Answer 1

分析：先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，設(shè) z=

x2+y2

xy

，再利用z的幾何意義求最值，z=

x2+y2

xy

表示的是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)O連線的斜率．故 z的最值問(wèn)題即為直線的斜率的最值問(wèn)題．只需求出直線OQ過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，從而得到z的最大值即可．

解答：解：作出可行域如圖陰影部分所示：
目標(biāo)函數(shù) z=

x2+y2

xy

═

1

y x

+ 

y

x

≥2
當(dāng)且僅當(dāng)

y

x

=1時(shí)，z最小，最小值為：2．
又其中

y

x

可以認(rèn)為是原點(diǎn)（0，0）與可行域內(nèi)一點(diǎn)（x，y）連線OQ的斜率．
其最大值為：2，最小值為：

1

3

，
因此 z=

x2+y2

xy

的最大值為

10

3

，
則目標(biāo)函數(shù) 則u=

x2+y2

xy

的取值范圍是[2，

10

3

]
故選C．

點(diǎn)評(píng)：巧妙識(shí)別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問(wèn)題的基礎(chǔ)，縱觀目標(biāo)函數(shù)包括線性的與非線性，非線性問(wèn)題的介入是線性規(guī)劃問(wèn)題的拓展與延伸，使得規(guī)劃問(wèn)題得以深化．本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．