Question

(1)討論函數()的圖像與直線的交點個數.
(2)求證:對任意的,不等式總成立.

Answer 1

(1)解:由題意得:.令,得．
當時,,故函數在上遞增；
當時,,故函數在上遞減；
又因為,,,所以當或時,沒有交點；當或時,有唯一的交點；當時,有兩個交點.
(2)證明:由(1)知函數在上遞增,在上遞減,故在上的最大值為.即對均有,故.
當時,結論顯然成立；當時,有:

.
綜上可知,對任意的,不等式成立.

本試題主要考查了運用導數的知識來解決圖像與圖像的交點問題，以及運用構造函數，結合導數來證明不等式的綜合試題。解決該試題的關鍵是對于不等式證明，要用到一問中的結論，來進行放縮得證。