Question

如圖，A，B，C，D為空間四點．在△ABC中，AB=2，AC=BC=

2

．
等邊三角形ADB以AB為軸運動．
（Ⅰ）當平面ADB⊥平面ABC時，求CD；
（Ⅱ）當△ADB轉(zhuǎn)動時，是否總有AB⊥CD？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取出AB中點E，連接DE，CE，由等邊三角形ADB可得出DE⊥AB，又平面ADB⊥平面ABC，故DE⊥平面ABC，在Rt△DEC中用勾股定理求出CD．
（Ⅱ）總有AB⊥CD，當D∈面ABC內(nèi)時，顯然有AB⊥CD，當D在而ABC外時，可證得AB⊥平面CDE，定有AB⊥CD．

解答：解：（Ⅰ）取AB的中點E，連接DE，CE，
因為ADB是等邊三角形，所以DE⊥AB．
當平面ADB⊥平面ABC時，
因為平面ADB∩平面ABC=AB，
所以DE⊥平面ABC，
可知DE⊥CE
由已知可得DE=

3

，EC=1，在Rt△DEC中，CD=

DE2+EC2

=2．

（Ⅱ）當△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動時，總有AB⊥CD．
證明：（ⅰ）當D在平面ABC內(nèi)時，因為AC=BC，AD=BD，
所以C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD．

（ⅱ）當D不在平面ABC內(nèi)時，由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC=BC，所以AB⊥CE．
又DE，CE為相交直線，所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD．
綜上所述，總有AB⊥CD．

點評：本題考查用線面垂直的方法來證明線線垂直，考查答題者的空間想象能力．