Question

【題目】已知拋物線C： ，點(diǎn)在x軸的正半軸上，過點(diǎn)M的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若，且直線的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；

（2）是否存在定點(diǎn)M，使得不論直線繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng)， 恒為定值？

Answer 1

【答案】（1）以AB為直徑的圓的方程是；（2）存在定點(diǎn)，滿足題意．

【解析】試題分析：（1）由題意得，直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可得圓心坐標(biāo)和圓的半徑，從而可得圓的方程．

（2）若存在定點(diǎn)這樣的點(diǎn)，使得恒為定值；直線： 與拋物線C： 聯(lián)立，計(jì)算,，利用恒為定值，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，點(diǎn)M為拋物線C的焦點(diǎn)，

直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，

消去y得， ，∴， ，∴圓心坐標(biāo)為．

又，∴圓的半徑為4，∴圓的方程為．

（2）由題意可設(shè)直線的方程為，則直線的方程與拋物線C： 聯(lián)立，

消去x得： ，則， ，

對任意恒為定值，

于是，此時(shí)．

∴存在定點(diǎn)，滿足題意．