Question

【題目】已知橢圓：，其離心率為，以原點為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓被直線截得的弦長等于.

（1）求橢圓的方程；

（2）設為橢圓的左頂點，過點的直線與橢圓的另一個交點為，與軸相交于點，過原點與平行的直線與橢圓相交于兩點，問是否存在常數，使恒成立？若存在，求出；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）由橢圓的短軸長為直徑的圓被直線截得的弦長等于求得，再由離心率為求得，問題得解。

（2）設直線的方程為,分別表示出點M,N的坐標，從而表示出，聯立直線與橢圓方程，即可表示出，問題得解。

（1）由題意設圓的半徑等于，

圓心到直線的距離為，

∴，，

∵離心率

∴，

∴，

∴題意的方程為.

（2）由（1）知點坐標為，顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，則，由，

得，

設，

則由題意可知，，

∴，

，

∴

直線方程為，由，

得，

設，

則，

∴，

∴存在常數，使恒成立.