Question

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F為CE的中點．
（ I）求證：求證AF⊥CD；
（II）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析：（ I）取CD的中點O，連接AO、OF，則OF∥DE，利用線面垂直的判斷性質得到DE⊥CD，OF⊥CD，利用線面垂直的判斷得到CD⊥平面AOF，AF?平面AOF得到AF⊥CD．
（II）取AD中點G，根據AC=AD=CD=2，可得CG⊥AD，CG=

3

，利用平面ABED⊥平面ACD，可知CG⊥平面ABED，從而可求多面體ABCDE的體積．

解答：解：（ I）取CD的中點O，連接AO、OF，則OF∥DE，
∵AC=AD，
∴AO⊥CD
∵DE⊥平面ACD
∴DE⊥CD
∴OF⊥CD，
又AO∩OF=O
∴CD⊥平面AOF
∵AF?平面AOF
∴AF⊥CD．
（II）取AD中點G，
∵AC=AD=CD=2，
∴CG⊥AD，CG=

3

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD
∴平面ABED⊥平面ACD
∴CG⊥平面ABED
∵DE=2，AB=1
∴VABCDE=

1

3

SABED•CG=

1

3

•

1

2

(AB+DE)•AD•

3

=

3

．

點評：本題以多面體為載體，考查線面垂直，考查線線垂直，考查幾何體的體積，解答的關鍵是正確運用線面垂直的判定定理．