Question

（2013•上海）已知函數f（x）=2sin（ωx），其中常數ω＞0
（1）若y=f（x）在[-

π

4

，

2π

3

]上單調遞增，求ω的取值范圍；
（2）令ω=2，將函數y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，在向上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象，區間[a，b]（a，b∈R，且a＜b）滿足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30個零點．在所有滿足上述條件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析：（1）已知函數y=f（x）在[-

π

4

，

2π

3

]上單調遞增，且ω＞0，利用正弦函數的單調性可得

π

2ω

≥

2π

3

，且-

π

2ω

≤-

π

4

，解出即可；
（2）利用變換法則“左加右減，上加下減”即可得到g（x）=2sin2(x+

π

6

)+1．令g（x）=0，即可解出零點的坐標，可得相鄰兩個零點之間的距離．若b-a最小，則a和b都是零點，此時在區間[a，mπ+a]（m∈N^*）恰有2m+1個零點，所以在區間[a，14π+a]是恰有29個零點，從而在區間（14π+a，b]至少有一個零點，即可得到a，b滿足的條件．進一步即可得出b-a的最小值．

解答：解：（1）∵函數y=f（x）在[-

π

4

，

2π

3

]上單調遞增，且ω＞0，
∴

π

2ω

≥

2π

3

，且-

π

2ω

≤-

π

4

，
解得0＜ω≤

3

4

．
（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個單位，在向上平移1個單位，得到y=2sin2(x+

π

6

)+1，
∴函數y=g（x）=2sin2(x+

π

6

)+1，
令g（x）=0，得x=kπ+

5π

12

，或x=kπ+

3π

4

（k∈Z）．
∴相鄰兩個零點之間的距離為

π

3

或

2π

3

．
若b-a最小，則a和b都是零點，此時在區間[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N^*）分別恰有3，5，…，2m+1個零點，
所以在區間[a，14π+a]是恰有29個零點，從而在區間（14π+a，b]至少有一個零點，
∴b-a-14π≥

π

3

．
另一方面，在區間[

5π

12

，14π+

π

3

+

5π

12

]恰有30個零點，
因此b-a的最小值為14π+

π

3

=

43π

3

．

點評：本題綜合考查了三角函數的單調性、周期性、函數的零點等基礎知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．