Question

（2013•豐臺區二模）已知橢圓C：

x2

4

+y2=1的短軸的端點分別為A，B，直線AM，BM分別與橢圓C交于E，F兩點，其中點M （m，

1

2

） 滿足m≠0，且m≠±

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e；
（Ⅱ）用m表示點E，F的坐標；
（Ⅲ）若△BME面積是△AMF面積的5倍，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率計算公式e=

c

a

；
（Ⅱ）利用點斜式分別寫出直線AM、BM的方程，與橢圓的方程聯立即可得到點E、F的坐標；
（Ⅲ）利用三角形的面積公式及其關系得到

5|MA|

|ME|

=

|MB|

|MF|

，再利用坐標表示出即可得到m的值．

解答：解：（Ⅰ）依題意知a=2，c=

3

，∴e=

3

2

；              
（Ⅱ）∵A（0，1），B（0，-1），M （m，

1

2

），且m≠0，
∴直線AM的斜率為k₁=-

1

2m

，直線BM斜率為k₂=

3

2m

，
∴直線AM的方程為y=-

1

2m

x+1，直線BM的方程為y=

3

2m

x-1，
由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

得（m²+1）x²-4mx=0，
∴x=0，x=

4m

m2+1

，∴E(

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

)，
由

x2 4 +y2=1 y= 3 2m x-1

得（9+m²）x²-12mx=0，
∴x=0，x=

12m

m2+9

，∴F(

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

)；                
（Ⅲ）∵S△AMF=

1

2

|MA||MF|sin∠AMF，S△BME=

1

2

|MB||ME|sin∠BME，∠AMF=∠BME，5S_△AMF=S_△BME，
∴5|MA||MF|=|MB||ME|，∴

5|MA|

|ME|

=

|MB|

|MF|

，
∴

5m

4m m2+1 -m

=

m

12m 9+m2 -m

，
∵m≠0，∴整理方程得

1

m2+1

=

15

m2+9

-1，即（m²-3）（m²-1）=0，
又∵m≠±

3

，∴m²-3≠0，∴m²=1，∴m=±1為所求．

點評：熟練掌握橢圓的離心率、點斜式、直線與橢圓的相交問題的解題模式、三角形的面積計算公式、比例式如何用坐標表示是解題的關鍵．