Question

（2012•海淀區一模）已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°（如圖1所示），將菱形ABCD沿對角線BD翻折，使點C翻折到點C₁的位置（如圖2所示），點E，F，M分別是AB，DC₁，BC₁的中點．

（Ⅰ）證明：BD∥平面EMF；
（Ⅱ）證明：AC₁⊥BD；
（Ⅲ）當EF⊥AB時，求線段AC₁的長．

Answer 1

分析：（I）△ABC₁中根據中位線定理，得到FM∥BD，結合線面垂直的判定定理，可得BD∥平面EMF．
（II）根據菱形的對角線相互垂直，得到C₁O⊥BD且AO⊥BD，所以BD⊥平面AOC₁，從而得到平面AC₁O內的直線AC₁BD．
（III）等邊三角形△ABD中，E為AB中點，得到DE⊥AB，再結合EF⊥AB，得到平面DEF⊥AB，所以C₁E⊥AB，結合E為AB中點，可得AC₁=BC₁=4．

解答：解：（Ⅰ）∵點F，M分別是C₁D，C₁B的中點，
∴△BC₁D中，FM是中位線，可得FM∥BD．                 …（2分）
又∵FM?平面EMF，BD?平面EMF，
∴BD∥平面EMF．           …（4分）
（Ⅱ）在菱形ABCD中，設O為AC，BD的交點，則AC⊥BD．    …（5分）
連接AO，C₁O
∴在三棱錐C₁-ABD中，C₁O⊥BD，AO⊥BD．
又 C₁O∩AO=O，
∴BD⊥平面AOC₁．           …（7分）
又∵AC₁?平面AOC₁，
∴BD⊥AC₁．                 …（9分）
（Ⅲ）連接DE，C₁E．在菱形ABCD中，DA=AB，∠BAD=60°，
所以△ABD是等邊三角形，得DA=DB．                …（10分）
∵E為AB中點，∴DE⊥AB．
又∵EF⊥AB，EF∩DE=E．
∴AB⊥平面DEF，即AB⊥平面DEC₁．…（12分）
又∵C₁E?平面DEC₁，∴AB⊥C₁E．
∵AE=EB，BC₁=AB=4，
∴AC₁=BC₁=4．             …（14分）

點評：本題根據一個平面圖形的翻折，求證線面平行和線線垂直．著重考查了著重考查線面平行的判定、線面垂直的判定與性質和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．