Question

已知函數(shù)的圖像過坐標(biāo)原點，且在點 處的切線斜率為.
（1）求實數(shù)的值；
（2） 求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（Ⅲ）若函數(shù)的圖像上存在兩點，使得對于任意給定的正實數(shù)都滿足是以為直角頂點的直角三角形，且三角形斜邊中點在軸上，求點的橫坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（Ⅲ）點的橫坐標(biāo)的取值范圍為．

解析試題分析：（1）求實數(shù)的值求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)在點處的切線的斜率是，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，及當(dāng)時，，對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得，，依題意，可求出，又因為圖象過坐標(biāo)原點，則，即可求得實數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，當(dāng)時，，對函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)，令，解出的值，確定函數(shù)的單調(diào)性，計算導(dǎo)數(shù)等零點與端點的函數(shù)值，從而可得函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（Ⅲ）設(shè)，因為中點在軸上，所以，根據(jù)，可得，分類討論，確定函數(shù)的解析式，利用，即可求得結(jié)論．
試題解析：（1）當(dāng)時，，
依題意，
又   故              3分
（2）當(dāng)時，
令有，故在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增；
在單調(diào)遞減．又,
所以當(dāng)時，          6分
（Ⅲ）設(shè)，因為中點在軸上，所以
又  ①
（ⅰ）當(dāng)時，，當(dāng)時，．故①不成立  7分
（ⅱ）當(dāng)時，代人①得：
，
無解                                  8分
（ⅲ）當(dāng)時，代人①得：
   ②
設(shè)，則是增函數(shù).
的值域是