Question

已知圓M的圓心M在y軸上，半徑為1．直線l：y=2x+2被圓M所截得的弦長(zhǎng)為，且圓心M在直線l的下方．
（1）求圓M的方程；
（2）設(shè)A（t，0），B（t+5，0）（-4≤t≤-1），若AC，BC是圓M的切線，求△ABC面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)圓心M（0，b），利用M到l：y=2x+2的距離，結(jié)合直線l被圓M所截得的弦長(zhǎng)為，求出M坐標(biāo)，然后求圓M的方程；
（2）當(dāng)直線AC，BC的斜率都存在時(shí)，求出設(shè)AC斜率，BC斜率為k₂，推出直線AC、直線BC的方程，求出△ABC的面積S的表達(dá)式，從而求出面積的最小值，再考慮斜率不存在時(shí)的情形，從而得解．
解答：解：（1）設(shè)M（0，b）由題設(shè)知，M到直線l的距離是=…（2分）
所以=，解得b=1或b=3…（4分）
因?yàn)閳A心M在直線l的下方，所以b=1，
即所求圓M的方程為x²+（y-1）²=1…（6分）
（2）當(dāng)直線AC，BC的斜率都存在，即-4＜t＜-1時(shí)
直線AC的斜率k_AC=tan2∠MAO==，
同理直線BC的斜率k_BC=…（8分）
所以直線AC的方程為y=（x-t），
直線BC的方程為y=（x-t-5）…（10分）
解方程組
得x=，y=…（12分）
所以y==2-
因?yàn)?4＜t＜-1，
所以-≤t²+5t+1＜-3
所以≤y＜．
故當(dāng)t=-時(shí)，△ABC的面積取最小值×5×=．…（14分）
當(dāng)直線AC，BC的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，即t=-4或t=-1時(shí)，易求得△ABC的面積為．
綜上，當(dāng)t=-時(shí)，△ABC的面積的最小值為．…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題以圓的弦長(zhǎng)為載體，考查直線與圓的位置關(guān)系，三角形面積的最值的求法，考查計(jì)算能力．