Question

已知直角三角形ABC的三邊a，b，c成公差為正數的等差數列，且a=6．
（1）求三角形ABC的三邊長；
（2）設P是三角形ABC（含邊界）內一點，點P到三角形邊AB，BC，AC的距離為d₁，d₂，d₃，求d₁+d₂+d₃的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出三角形的三邊的長，利用勾股定理，建立方程，即可求得三角形ABC的三邊長；
（2）用坐標法，將三角形ABC放置在直角坐標系中，通過點到直線的距離，表示出d₁+d₂+d₃，利用線性規劃的思想方法求出范圍即可．

解答：解：（1）設公差為d，則三邊長分別為6，6+d，6+2d
∵△ABC是直角三角形
∴6²+（6+d）²=（6+2d）²，
∴d²+4d-12=0
∵d＞0，∴d=2
∴△ABC的三邊長分別為6，8，10；
（2）以C為坐標原點，射線CA為x軸正半軸建立直角坐標系，
則A、B坐標為（3，0），（0，4），直線AB方程為4x+3y-12=0．
設P點坐標為（x，y），則由P到三邊AB、BC、AB的距離為d₁，d₂和d₃，可知d1+d2+d3=x+y+

|4x+3y-12|

5

，且

x≥0 y≥0 4x+3y-12≤0

，故d1+d2+d3=

x+2y+12

5

．
令m=x+2y，由線性規劃知識可知，如圖：

當直線分別經過點A、O時，m取得最大、最小值，故0≤m≤8，故d₁+d₂+d₃的取值范圍是[

12

5

，4]．

點評：本題考查等差數列，考查利用線性規劃知識求范圍，考查學生轉化的能力，屬于中檔題．