Question

已知函數y=f（x）的圖象過點（-2，-3），且滿足f（x-2）=ax²-（a-3）x+（a-2），設g（x）=f[f（x）]，F（x）=pg（x）-4f（x）
（I）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）是否存在正實數p，使F（x）在（-∞，f（2））上是增函數，在（f（2），0）上是減函數？若存在，求出p；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）欲求f（x）的表達式，只要先求出a值即可，利用函數y=f（x）的圖象過點（-2，-3），可求出a值，從而問題獲解；
（II）對于存在性問題，先假設存在，正實數p，使F（x）在（-∞，-3）上是增函數，在（-3，0）上是減函數．再結合題目中條件求出p值，最后看對于求出的p值，函數F（x）是否符合要求，若符合，則存在，若不符合，則不存在．

解答：解：（I）令x-2=t，則x=2+t∴f（t）=a（2+t）²-（a-3）（2+t）+（a-2）∵f（-2）=-3∴a-2=-3，∴a=-1（13分）
∴f（t）=-（2+t）²+4（2+t）-3=-t²+1，即f（x）=-x²+1（15分）
（II）g（x）=f[f（x）]=f（-x²+1）=-（-x²+1）²+1=-x⁴+2x²F（x）=pg（x）-4f（x）=p（-x⁴+2x²）-4（-x²+1）=-px⁴+（2p+4）x²-4Fn（x）=-4px³+4（p+2）x=-4x（px²-p-2）
∵f（2）=-3，假設存在正實數p，使F（x）在（-∞，-3）上是增函數，在（-3，0）上是減函數∴Fn（-3）=0，解得p=

1

4

（10分）
當p=

1

4

時，Fn（x）=-x³+9x=x（3-x）（3+x）
當x＜-3時，Fn（x）＞0∴F（x）在（-∞，-3）上是增函數
當-3＜x＜0時，Fn（x）＜0∴F（x）在（-3，0）上是減函數
∴存在正實數p=

1

4

，使得F（x）在（-∞，-3）上是增函數，在（-3，0）上是減函數（14分）

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．