Question

已知數列a_n}的前n項和為s_n，滿足（p-1）s_n=p²-a_n，其中p為正常數，且p≠1．
（1）求證：數列{a_n}為等比數列，并求出{a_n}的通項公式；
（2）若存在正整數M，使得當n≥M時，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₃₆恒成立，求出M的最小值；
（3）當p=2時，數列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數列，其中x，y均為整數，求出x，y的值．

Answer 1

分析：（1）當n≥2時，（p-1）s_n-1=p²-a_n-1，可得數列{a_n}為等比數列，公比為

1

p

，可求所以a₁=p，可得答案；
（2）由（1）可得(

1

p

)

n(3n-5)

2

＞(

1

p

)34，分0＜p＜1和p＞1兩種情況來討論；
（3）當p=2時，因為數列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數列，可得2^x=1+2^y-2，通過對y進行討論可得，當y=2時，2^x=2，則x=1；當y＞2和y＜2時，均會產生矛盾，故而得解．

解答：解：（1）因為（p-1）s_n=p²-a_n，所以當n≥2時，（p-1）s_n-1=p²-a_n-1，
兩式相減得（p-1）a_n=a_n-a_n-1，即pa_n=a_n-1，所以

an

an-1

=

1

p

，
所以數列{a_n}為等比數列，公比為

1

p

，
又當n=1時，（p-1）s₁=p²-a₁，即（p-1）a₁=p²-a₁，所以pa1=p2
因為p＞0，所以a₁=p，所以{a_n}的通項公式為：an=p(

1

p

)n-1=(

1

p

)n-2
（2）由（1）知：a₁a₄a₇…a_3n-2=(

1

p

)-1(

1

p

)2(

1

p

)5…(

1

p

)3n-4=(

1

p

)-1+2+5+…+3n-4=(

1

p

)

n(3n-5)

2

而a36=(

1

p

)34，所以不等式a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₃₆，即為(

1

p

)

n(3n-5)

2

＞(

1

p

)34
p為正常數，且p≠1，所以當0＜p＜1時，

1

p

＞1，所以

n(3n-5)

2

＞34，解得n＜-4或n＞

17

3

，
故存在最小值為6的M，使得a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₃₆恒成立；
當p＞1時，0＜

1

p

＜1，所以

n(3n-5)

2

＜34，解得-4＜n＜

17

3

，不合題意，
綜合可得：當當0＜p＜1時，所求M的最小值為6．
（3）當p=2時，an=(

1

2

)n-2，因為數列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數列，
所以2×2x(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2 +2y(

1

2

)n，
化簡得2^x=1+2^y-2，顯然x＞y-2，因為x，y均為整數，
所以當y=2時，2^x=2，則x=1，
當y＞2時，2^y-2為偶數，則1+2^y-2為奇數，即2^x為奇數，這與2^x為偶數矛盾，
當y＜2時，2-y＞0，x+2-y＞0，由2^x=1+2^y-2得，2^x+2-y=1+2^2-y，則2^2-y為偶數，
1+2^2-y為奇數，即2^x+2-y為奇數，這與2^x+2-y為偶數矛盾，
綜合得：x=1，y=2．

點評：本題為等差、等比數列與不等式的綜合應用，涉及分類討論的思想，屬中檔題．