Question

【題目】已知三角形的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)向量 ， ，若 ．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面積為 ，求AC邊的最小值，并指明此時(shí)三角形的形狀．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，∵ ，∴（2a﹣c）cosB=bcosC．

由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

整理得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，

即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴ ．

∵0＜B＜π，∴ ．

（2）解：由已知得： ，∴ac=4．

由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，當(dāng)且僅當(dāng)“a=c”時(shí)取等號(hào)．

∴AC的最小值為2，此時(shí)三角形為等邊三角形

【解析】（1）利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)、正弦定理可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，由sinA＞0，求得 ，從而求得B的值．（2）由△ABC的面積為 ，求得ac=4，再利用余弦定理以及基本不等式求出AC的最小值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:)，還要掌握余弦定理的定義(余弦定理:;;)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．