Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，直線l：y=x+b．
（1）若直線l與圓C相切，求實數b的值；
（2）是否存在直線l，使l與圓C交于A、B兩點，且以AB為直徑的圓過原點．如果存在，求出直線l的方程，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線l與圓C相切，圓心（1，-2）到l的距離d=r，建立方程，可求實數b的值；
（2）假設垂直．將直線方程代入圓的方程，利用韋達定理，及以AB為直徑的圓過原點，可得關于b的方程，即可求解，注意方程判別式的驗證

解答：解：（1）由x²+y²-2x+4y-4=0，整理得（x-1）²+（y+2）²=9．…（2分）
若直線l和圓C相切，則有圓心（1，-2）到l的距離d=r，
即 

|3+b|

2

=3，∴b=-3±3

2

．…（4分）
（2）設存在滿足條件的直線l，
由

y=x+b x2+y2-2x+4y-4=0.

消去y，得2x²+（2+2b）x+b²+4b-4=0①…（6分）
設直線l和圓C的交點為A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是①的兩個根．
∴x1x2=

b2+4b-4

2

，x₁+x₂=-b-1．             ②…（8分）
由題意有：OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0，即2x1x2+b(x1+x2)+b2=0③
將②代入③得：b²+3b-4=0．                  …（12分）
解得：b=1或b=-4，
b=1時，方程為2x²+4x+1=0，判別式△=16-8＞0，滿足題意
b=-4時，方程為2x²-6x-4=0，判別式△=36+32＞0，滿足題意
所以滿足條件的直線l為：y=x+1或y=x-4．       …（14分）

點評：本題綜合考查直線與圓的位置關系，考查直線與圓相切、相交，充分利用圓的性質是我們解題的上策．