Question

如圖，已知圓交軸于、兩點，在圓上運動（不與、重合），過作直線，垂直于交直線于點．
（1）求證：“如果直線過點，那么”為真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析。
（2）逆命題為：如果，那么直線過點．逆命題也為真命題，

（1）設，則．當時，直線過點，，即，．當時，直線過點，直線的斜率，直線OS的斜率，其方程為，，即．
．故“如果直線過點，那么”為真命題．
（2）逆命題為：如果，那么直線過點．逆命題也為真命題，以下給出證明：設，則，，，又，．當時，直線的方程為，顯然過點；當時，直線OS的斜率，直線的方程為，令，得，直線過定點．綜上，直線恒過定點．