Question

【題目】已知四棱錐中，底面，，，，是中點．

（1）求證：平面；

（2）求直線和平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：(1)首先在相應的平面內借助于三角形的中位線，得到對應的平行線，再根據線面平行的判定定理證得線面平行的結果；

(2)利用幾何體中的垂直關系，建立相應的空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量所成角的余弦值的絕對值求得對應的線面角的正弦值.

詳解：（1）證明：取的中點，連接、，

∵、分別為、的中點，

∴，且，

又∵，

∴且，

∴ ，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面．

（2）以為坐標原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標，，，，，，，

設平面的一個法向量，

，，

∴即令，則，，，

設直線與平面所成角為，

．