Question

【題目】如圖所示的幾何體ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥ AB，M是EC上的點（不與端點重合），F為DA上的點，N為BE的中點．

（Ⅰ）若M是EC的中點，AF=3FD，求證：FN∥平面MBD；
（Ⅱ）若平面MBD與平面ABD所成角（銳角）的余弦值為 ，試確定點M在EC上的位置．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：如圖，
∵DA⊥平面EAB，∴DA⊥AE，DA⊥AB，又EA⊥AB，
∴以A為原點，分別以AE、AB、AD所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
設CB=4，由CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，N為BE的中點，M是EC的中點，AF=3FD，
得F（0，0，6），N（4，4，0），M（4，4，2），B（0，8，0），D（0，0，8），
C（0，8，4），E（8，0，0）．
∴ ， ， ．
設平面MBD的一個法向量為 ，
由 ，取z=1，得 ．
∵ = ，∴ ，則FN∥平面MBD；
（Ⅱ）解：設 ，M（x1 ， y1 ， z1），
則 =（x1 ， y1﹣8，z1﹣4）， ，
∴（x1 ， y1﹣8，z1﹣4）=（8λ，﹣8λ，﹣4λ），
∴ ，得M（8λ，8﹣8λ，4﹣4λ），
∴ ．
設平面BDM的一個法向量為 ，
由 ，取z2=1，得 ．
平面ABD的一個法向量為 ，
由|cos＜ ＞|=| |=| |= ，得8λ2﹣6λ+1=0，
解得 或 ．
∵平面MBD與平面ABD所成角（銳角）的余弦值為 ，∴ ，即M為EC中點．
【解析】（Ⅰ）由題意可得AE、AB、AD兩兩垂直，以A為原點，分別以AE、AB、AD所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出 的坐標，再求出平面MBD的一個法向量 ，由 可得FN∥平面MBD；（Ⅱ）設 ，把M的坐標用λ表示，求出平面BDM的一個法向量，再求出平面ABD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值的絕對值為 求得λ值，則答案可求．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．