Question

如圖，菱形ABCD所在平面與矩形ACEF所在平面相互垂直，點M是線段EF的中點．
（1）求證：AM∥平面BDE；
（2）當

BD

AF

為何值時，平面DEF⊥平面BEF？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）取AC與BD的交點N，連接EN，要證AM∥平面BDE，只需證明直線AM平行平面BDE內的直線EN即可；
（2）當

BD

AF

=2時，在平面DEF內的直線DM垂直EF、BM，可得DM⊥平面BEF，即可證明平面DEF⊥平面BEF．

解答：證明：（1）取AC與BD的交點N，連接EN，（1分）
由題意知：EN∥AM，（4分）
又EN在平面BDE內，（5分）
所以AM∥平面BDE；（6分）
（2）當

BD

AF

=2時，平面DEF⊥平面BEF（7分）
因為面ACEF⊥面ABCD，四邊形ACEF為矩形，
所以FA、EC都垂直于面ABCD，又四邊形ABCD是菱形，
所以△FAD≌△ECA，所以DF=DE又M為EF的中點，所以DM⊥EF，（10分）
當DM⊥BM時，就有DM⊥平面BEF（12分）
即∠DMB=90°時，平面DEF⊥平面BEF∴

BD

AF

=2．（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定，平面與平面平行的判定，考查邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．