Question

【題目】如圖，以正四棱錐VABCD的底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E為VC的中點(diǎn)．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為h，且有cos〈，〉＝－.

（1）求的值；

（2）求二面角B-VC-D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）－

.

【解析】

（1）先根據(jù)題中空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到＝，＝，表示出cos〈，〉，再利用條件cos〈，〉＝－求解.

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分別求得平面BVC一個(gè)法向量和平面DVC的一個(gè)法向量，利用面面角的向量方法求解.

（1）由空間直角坐標(biāo)系Oxyz，

可得B(a，a，0)，C(－a，a，0)，D(－a，－a，0)，V(0，0，h)，E，

所以＝，＝，

故cos〈，〉＝.

又cos〈，〉＝－，

則＝－，

解得＝

（2）由＝，

得＝，＝，

＝(2a，0，0)，＝(0，2a，0)．

設(shè)平面BVC的法向量為＝(x1，y1，z1)，

則即

則

取y1＝3，z1＝2，則＝(0，3，2)．

同理可得平面DVC的一個(gè)法向量為＝(－3，0，2)．

cos〈，〉＝＝＝，

結(jié)合圖形，可以知道二面角B-VC-D的余弦值為－.