Question

已知圓x²＋y²＋2ax－2ay＋2a²－4a＝0(0＜a≤4)的圓心為C，直線l：y＝x＋m.
(1)若m＝4，求直線l被圓C所截得弦長的最大值；
(2)若直線l是圓心下方的切線，當a在的變化時，求m的取值范圍．

Answer 1

(1)已知圓的標準方程是(x＋a)²＋(y－a)²＝4a(0＜a≤4)，則圓心C的坐標是(－a，a)，半徑為2.直線l的方程化為：x－y＋4＝0.
則圓心C到直線l的距離是＝|2－a|.
設直線l被圓C所截得弦長為L，由圓、圓心距和圓的半徑之間關系是：
L＝2
＝2＝2.
∵0＜a≤4，∴當a＝3時，L的最大值為2.
(2)因為直線l與圓C相切，則有＝2，
即|m－2a|＝2.
又點C在直線l的上方，∴a＞－a＋m，即2a＞m.
∴2a－m＝2，∴m＝²－1.
∵0＜a≤4，∴0＜≤2.
∴m∈[－1,8－4]．

略