Question

【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的內(nèi)角對(duì)邊分別為a，b，c，滿足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（1）求B．
（2）若sinAsinC= ，求C．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，

∴a2+c2﹣b2=﹣ac，

∴cosB= =﹣ ，

又B為三角形的內(nèi)角，

則B=120°；

（2）解：由（1）得：A+C=60°，∵sinAsinC= ，cos（A+C）= ，

∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC= +2× = ，

∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，

則C=15°或C=45°．

【解析】（1）已知等式左邊利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，整理后得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosB，將關(guān)系式代入求出cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；（2）由（1）得到A+C的度數(shù)，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)cos（A﹣C），變形后將cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A﹣C的值，與A+C的值聯(lián)立即可求出C的度數(shù)．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的兩角和與差的正弦公式和余弦定理的定義，需要了解兩角和與差的正弦公式：；余弦定理:;;才能得出正確答案．