Question

【題目】若無窮數列滿足:對任意兩個正整數,與至少有一個成立,則稱這個數列為“和諧數列”.

(Ⅰ)求證:若數列為等差數列,則為“和諧數列”;

(Ⅱ)求證:若數列為“和諧數列”,則數列從第項起為等差數列;

(Ⅲ)若是各項均為整數的“和諧數列”,滿足,且存在使得，,求p的所有可能值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ) 見解析(Ⅲ) .

【解析】

（I）利用等差數列的定義，證得等差數列為“和諧數列”.

（II）利用等差數列的定義，通過證明，證得數列從第項起為等差數列.

（III）對依次進行驗證，當時，結合（II）的結論和等差數列前項和公式進行列式，求得的可能取值.

(Ⅰ)證明:因為數列為等差數列,

所以對任意兩個正整數,有 ,

所以 .

所以 數列為“和諧數列”.

(Ⅱ)證明:因為數列為“和諧數列”,

所以 當,時,只能成立, 不成立.

所以 ,即.

當,時,也只能成立,不成立.

所以 ,,,

即,

所以.

令,則數列滿足.

所以,數列從第3項起為等差數列.

(Ⅲ)解:①若,則,與矛盾,不合題意.

②若,則,,但,不合題意

③若,則,,由,得,

此時數列為:,符合題意.

④若,設,

則.

所以,

即 .

因為,所以.

所以不合題意.

所以.

因為p為整數,所以為整數,所以.

綜上所述,p的所有可能值為.