Question

已知函數

（I）若 在其定義域是增函數，求b的取值范圍；

（II）在（I）的結論下，設函數的最小值；

（III）設函數的圖象C₁與函數的圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（I）

（II）

當的最小值為

（III）C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行

解析:

（I）依題意：

在（0,+）上是增函數，

對x∈（0,+）恒成立，    …………2分

  …………4分

   （II）設

當t=1時，y_{m I n}=b+1； …………6分

當t=2時，y_{m I n}=4+2b   …………8分

當的最小值為      …………9分

   （III）設點P、Q的坐標是

則點M、N的橫坐標為

C₁在點M處的切線斜率為

C₂在點N處的切線斜率為  …………10分

假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則

 

……………11分

設 ……………… ①          …………12分

這與①矛盾，假設不成立.

故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行.      …………14分