Question

（15分） 如圖，已知點P在圓柱OO₁的底面⊙O上，AB、A₁B₁分別為⊙O、⊙O₁的直徑，且A₁A⊥平面PAB.

(1)求證：BP⊥A₁P；

(2)若圓柱OO₁的體積V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱錐A₁－APB的體積．

(3)在AP上是否存在一點M，使異面直線OM與A₁B所成角的余弦值為 ？若存在，請指出M的位置，并證明；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)證明：因為AP⊥BP，由AA₁⊥平面PAB，得AA₁⊥BP   ……1分

且AP∩AA₁＝A  ……2分; 所以BP⊥平面PAA₁ ……3分

故BP⊥A₁P    ……4分

(2)由題意V＝π·OA²·AA₁＝4π·AA₁＝12π,解得AA₁＝3…5分

由OA＝2,∠AOP＝120°,得∠BAP＝30°，BP＝2 ……6分

AP＝2，∴S_△PAB＝×2×2＝2     ……8分

∴三棱錐A₁－APB的體積V＝S_△PAB·AA₁＝×2×3＝2 ……10分

(3)答：在AP上存在一點M，當M為AP的中點時，使異面直線OM與A₁B所成角的余弦值為.                                                ……11分

證明：∵O、M分別為AB、AP的中點，則OM∥BP，且已證BP⊥A₁P

∴∠A₁BP就是異面直線OM與A₁B所成的角       …….13分

在Rt中，         

∴在AP上存在一點M，當M為AP的中點時，使異面直線OM與A₁B所成角的余弦值為.      …….15分