Question

（2013•青島一模）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1，0），B（1，0），動點C滿足：△ABC的周長為2+2

2

，記動點C的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）曲線W上是否存在這樣的點P：它到直線x=-1的距離恰好等于它到點B的距離？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設E曲線W上的一動點，M（0，m），（m＞0），求E和M兩點之間的最大距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由：△ABC的周長為2+2

2

，得到兩邊BC與AC的長度和，又點A（-1，0），B（1，0），符合橢圓定義，所以W的方程可求；
（Ⅱ）若線W上存在這樣的點P：它到直線x=-1的距離恰好等于它到點B的距離，說明點P又在拋物線在y²=4x上，聯立橢圓和拋物線方程即可得到點P的坐標；
（Ⅲ）把動點E的坐標僅用y表示，然后直接寫出E和M兩點之間的距離，距離中只含有參數m，對m進行分類討論求解距離的最大值．

解答：解：（Ⅰ）設C（x，y），∵△ABC的周長為2+2

2

，∴|AC|+|AB|+|BC|=2+2

2

，
又|AB|=2，∴|AC|+|BC|=2

2

＞2，
根據橢圓的定義知，動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為2

2

的橢圓（除去與x軸的兩個交點）．
從而a=

2

，c=1，b²=a²-c²=1
∴W的方程為

x2

2

+y2=1（y≠0）；   
（Ⅱ）存在兩個點(3

2

-4，-2

3 2 -4

)和(3

2

-4，2

3 2 -4

)滿足題意．
事實上，假設存在點P滿足題意，則點P為拋物線y²=4x與曲線

x2

2

+y2=1（y≠0）的交點，
由

y2=4x x2 2 +y2=1(y≠0)

消去y得：x²+8x-2=0．
解得x=3

2

-4或x=-3

2

-4（舍去）．
把x=3

2

-4代人拋物線的方程得y=±2

3 2 -4

．
所以存在兩個點(3

2

-4，-2

3 2 -4

)和(3

2

-4，2

3 2 -4

)滿足題意．
（Ⅲ）設E（x，y），則由

x2

2

+y2=1（y≠0）得x²=2-2y²（-1≤y≤1，且y≠0）|ME|=

x2+(y-m)2

=

2-2y2+(y-m)2

=

-(y+m)2+2m2+2

．
若-m＜-1，即m＞1時，當y=-1時，|ME|max=

m2+2m+1

=m+1；
若-1≤-m＜0，即0＜m≤1時，當y=-m時，|ME|max=

2m2+2

．

點評：本題考查了橢圓和拋物線的定義，考查了方程組的求解方法，訓練了利用分類討論求函數最值，是中檔題．