Question

如圖，已知ABCD 為平行四邊形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，點E 在CD 上，EF∥BC，BD⊥AD，BD 與EF 相交于N．現將四邊形ADEF 沿EF 折起，使點D 在平面BCEF 上的射影恰在直線BC 上．
（Ⅰ） 求證：BD⊥平面BCEF；
（Ⅱ） 求折后直線DE 與平面BCEF 所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證BD⊥平面BCEF，只需證明D在平面BCEF上的射影為點B即可；
（Ⅱ）連接BE，由BD⊥平面BCEF，得∠DEB即為直線DE與平面BCEF所成角，進而利用直角三角形，利用余弦函數即可求直線DE與平面BCEF所成角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵EF⊥DN，EF⊥BN，DN∩BN=N
∴EF⊥面DNB 
∵EF?平面BCEF，
∴平面BDN⊥平面BCEF，
∵BN=平面BDN∩平面BCEF，
∴D在平面BCEF上的射影在直線BN上，
∵D在平面BCEF上的射影在直線BC上，
∴D在平面BCEF上的射影即為點B，
∴BD⊥平面BCEF．--------（6分）
（Ⅱ）連接BE，由BD⊥平面BCEF，得∠DEB即為直線DE與平面BCEF所成角．
在原圖中，由已知，可得AD=3，BD=3

3

，BN=

3

，DN=2

3

，DE=4 
折后，由BD⊥平面BCEF，知BD⊥BN
則BD²=DN²-BN²=9，即BD=3
則在Rt△DEB中，有BD=3，DE=4，則BE=

7

，
故cos∠DEB=

7

4

 
即折后直線DE與平面BCEF所成角的余弦值為

7

4

．--------（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，線面角，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．