Question

我們?yōu)榱颂骄亢瘮?shù) f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的部分性質(zhì)，先列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

請(qǐng)你觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成以下的問題．
首先比較容易的看出來：此函數(shù)在區(qū)間（0，2）上是遞減的；
（1）函數(shù)f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區(qū)間

（2，+∞）

上遞增．當(dāng)x=

2

時(shí)，y_最小=

4

．
（2）請(qǐng)你根據(jù)上面性質(zhì)作出此函數(shù)的大概圖象；
（3）證明：此函數(shù)在區(qū)間上（0，2）是遞減的．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)單調(diào)性和最值畫出此函數(shù)的大概圖象；
（3）利用函數(shù)在（0，2）上的導(dǎo)數(shù)符號(hào)從而確定函數(shù)在區(qū)間上（0，2）的單調(diào)性．

解答：解：（1）根據(jù)表中y值隨x值變化的特點(diǎn)可知f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x=2時(shí)y_最小=4；
（2）圖象如下圖

（3）由f（x）=x+

4

x

，∴f′（x）=1-

4

x2

=

(x-2)(x+2)

x2

，
∵x∈（0，+∞），∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，
∴此函數(shù)在區(qū)間上（0，2）是遞減的．
故答案為：（2，+∞），2，4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性是常用的方法，同時(shí)考查了作圖能力，屬于中檔題．