Question

（本小題滿分14分）
已知，為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，是橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為．
（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；
（Ⅱ）直線與橢圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷以
為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓的方程為，．
由題意知解得，．
故橢圓的方程為，離心率為．……6分
（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．    
證明如下：由題意可設(shè)直線的方程為.
則點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)的坐標(biāo)為．
由得．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．
所以，．……………………………10分
因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
直線軸，此時(shí)以為直徑的圓與直線相切．
當(dāng)時(shí)，則直線的斜率.
所以直線的方程為．
點(diǎn)到直線的距離．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174033159365.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．
故以為直徑的圓與直線相切．
綜上得，當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓與直線相切．………14分

略