Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣ax2﹣3x．
（1）若a=4時，求f（x）在x∈[1，4]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[2，+∞]上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=4時，f（x）=x3﹣4x2﹣3x，

∴f′（x）=3x2﹣8x﹣3，

∴函數在[1，3]上單調遞減，[3，4]上單調遞增，

∴f（x）在x∈[1，4]上的最大值為f（1）=﹣6，最小值為f（3）=﹣18

（2）解：在x∈[2，+∞]上，f′（x）=3x2﹣2ax﹣3≥0，

可得a≤ 在x∈[2，+∞]上恒成立，

∴只要求 的最小值即可，而y= ．

y′= 恒大于零，

∴y在R上為增函數，∴ymin= ，

∴a≤

【解析】（1）求導數，確定函數在[1，3]上單調遞減，[3，4]上單調遞增，即可求f（x）在x∈[1，4]上的最大值和最小值；（2）在x∈[2，+∞]上，f′（x）=3x2﹣2ax﹣3≥0可得a≤ 在x∈[2，+∞]上恒成立，只要求 的最小值即可得到a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．