Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，D是BC的中點，點P在平面BCC₁B₁內，PB₁=PC₁=

2

（Ⅰ）求證：PA₁⊥BC；
（Ⅱ）求證：PB₁∥平面AC₁D．

Answer 1

分析：對于（1），連接PD交B₁C₁于H，連接BH，容易證明BC⊥AD，而BC⊥AA₁已知，則BC⊥平面ADPA₁．從而得到BC⊥PA₁；
對于（2），要證PB₁∥平面AC₁D，只需證明PB₁平行于平面AC₁D內的一條直線即可，連接BH，而容易證明BH∥C₁D，只需證明PB₁∥BH即可，而PH與PB₁平行且相等，問題得證．

解答：證明：（1）連接PD交B₁C₁于H，
∵PB₁=PC₁，∴H為B₁C₁中點，
又∵D是BC的中點，∴PD∥CC₁，
∴A、A₁、P、D四點共面；
∵BC⊥AD，BC⊥AA₁，AD∩AA₁=A，
∴BC⊥平面ADPA₁．
∵PA₁?平面ADPA₁．
∴BC⊥PA₁．
（2）連接BH，∵PH∥BB₁，且∵PH=BB₁，
∴四邊形B₁PHB為平行四邊形．
∴PB₁∥BH．而BH∥C₁D
∴PB₁∥DC₁．
又∵PB₁?平面AC₁D，C₁D?平面AC₁D．
∴PB₁∥平面AC₁D．

點評：本題考查直線與直線垂直的判定，直線與平面平行的判定，要注意轉化思想的應用，即將線線垂直轉化為線面垂直，將線面平行轉化為線線平行進行．