Question

在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較．在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑．現在可供選用的不同添加劑有6種，其中芳香度為1的添加劑1種，芳香度為2的添加劑2種，芳香度為3的添加劑3種．根據試驗設計原理，通常要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗．
（Ⅰ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3的概率；
（Ⅱ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數的概率；
（Ⅲ）用ξ表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和，寫出ξ的分布列，并求ξ的數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件是從6種添加劑中選兩種，共有C₆²種結果，滿足條件的事件是選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3，共有C₂¹種結果，根據概率公式得到結果．
（II）兩種添加劑的芳香度之和為偶數有三種可能：芳香度為1和3，芳香度為2和2，芳香度為3和3，這三種情況是互斥的，根據等可能事件的概率和互斥事件的概率公式得到結果．
（III）ξ表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和，則ξ的可能取值為3，4，5，6，結合變量對應的事件寫出變量出現的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
試驗發生包含的事件是從6種添加劑中選兩種，共有C₆²種結果，
滿足條件的事件是選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3，共有C₂¹種結果，
設“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3”為事件A，
則P(A)=

C 1 2

C 2 6

=

2

15

．
即所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3的概率是

2

15

．
（Ⅱ）設“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數”為事件B，
兩種添加劑的芳香度之和為偶數有三種可能：芳香度為1和3，芳香度為2和2，芳香度為3和3，
其中芳香度為1和3的概率為

C 1 3

C 2 6

=

3

15

，
芳香度為2和2的概率為

C 2 2

C 2 6

=

1

15

，
芳香度為3和3的概率為

C 2 3

C 2 6

=

3

15

，
∴P(B)=

3

15

+

1

15

+

3

15

=

7

15

．
即所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數的概率是

7

15

．
（Ⅲ）ξ的可能取值為3，4，5，6，
且P(ξ=3)=

C 1 2

C 2 6

=

2

15

，
P(ξ=4)=

C 1 3 + C 2 2

C 2 6

=

4

15

，
P(ξ=5)=

C 1 3 C 1 2

C 2 6

=

6

15

，
P(ξ=6)=

C 2 3

C 2 6

=

3

15

．
∴ξ的分布列為

∴Eξ=3×

2

15

+4×

4

15

+5×

6

15

+6×

3

15

=

14

3

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，是一個典型的問題，這種題目是高考每一年必考的．