Question

對于具有相同定義域D的函數f（x）和g（x），若存在x∈D，使得|f（x）-g（x）|＜1，則f（x）和g（x）在D上是“親密函數”．給出定義域均為D=（0，1）的四組函數如下：
①f（x）=lnx-1，g（x）=

2(x-1)

x+1

   ②f（x）=x³，g（x）=3x-1
③f（x）=e^x-2x，g（x）=-x      ④f（x）=

2

3

x-

5

8

，g（x）=

x

其中，函數f（x）和g（x）在D上是“親密函數”的是

 

．

Answer 1

分析：分析：根據新定義，構造新函數h（x）=f（x）-g（x），利用導數的方法確定函數的單調性，從而確定函數的值域，利用若對任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|＜1，則稱f（x）和g（x）在D上是“親密函數”，即可得到結論

解答：解：①設h（x）=f（x）-g（x）=lnx-1-

2(x-1)

x+1

，
∴h'（x）=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

∵0＜x＜1，∴h'（x）＞0，
即h（x）在（0，1]上單調增，
∵h（1）=-1，∴h（x）＜-1，
∴對任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|＞1，
∴函數f（x）和g（x）在D上不存在“親密函數”；
②設h（x）=f（x）-g（x）=x³-3x+1，
∴h′（x）=3x²-3
∵0＜x＜1，
∴h′（x）＜0，函數單調遞減．
∵h（0）=1，h（1）=-1，
∴-1＜h（x）＜1，
即|h（x）|＜1，
即存在x∈D，都有|f（x）-g（x）|＜1．
③設h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x，
∴h′（x）=e^x-1
∵0＜x＜1，∴h′（x）＞0
∴h（x）在[0，1]上單調增，
∵h（0）=1，h（1）=e-1＞1
∴不滿足對任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|＜1．
④設h（x）=f（x）-g（x）=

2

3

x-

5

8

-

x

當x=0時滿足題意，
當x≠0時，h′（x）=

2

3

-

1

2 x

，
由h'（x）=0得，x=

9

16

，
∵0＜x＜1，
∴當x=

9

16

時，函數取得極小值，
即h（

9

16

）=

2

3

×

9

16

-

5

8

-

9 16

=

3

8

-

5

8

-

3

4

=-1．
∴存在x∈D，都有|f（x）-g（x）|＜1，
∴函數f（x）和g（x）在D上為“親密函數”；
故答案為：②④．

點評：本題是一道新定義題，要理清定義的條件和結論，將問題轉化為已知的去解決，主要涉及了函數的單調性，函數的最值求法等．綜合性較強難度較大．