Question

如圖，BA是⊙O的直徑，AD是切線，BF、BD是割線，求證：BE•BF=BC•BD．

Answer 1

連接CE，過B作⊙O的切線BG，則BG∥AD
∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB   ∴∠CEB=∠FDB-----------5分
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角    ∴△BCE∽△BDF ∴，
即BE•BF=BC•BD…………10分
證法二：連接AC、AE，∵AB是直徑，AC是切線   ∴AB⊥AD，AC⊥BD，∠CEB=∠CAB
∵在中，∠CAB=,在中，∠D=
∠CAB=∠D, ∠CEB=∠D----------------5分
C,E,F,D四點共圓∴BE•BF=BC•BD…………10分
證法三：連接AC、AE，∵AB是直徑，AC是切線  ∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF------3分
由射線定理有AB²=BC•BD，AB²=BE•BF-------9分   ∴BE•BF=BC•BD

采用分析法找到解題途徑：