Question

某工廠在試驗階段大量生產一種零件．這種零件有A、B兩項技術指標需要檢測，設兩項技術指標達標與否互不影響．若有且僅有一項技術指標達標的概率為

5

12

，至少一項技術指標達標的概率為

11

12

．按質量檢驗規定：兩項技術指標都達標的零件為合格品．
（1）求一個零件經過檢測為合格品的概率是多少？
（2）任意依次抽出4個零件進行檢測，設ξ表示其中合格品的個數．
①求其中至多2個零件是合格品的概率是多少？
②求ξ的均值Eξ和方差Dξ．

Answer 1

分析：（1）法一：至少一項技術指標達標事件是僅有一項技術指標達標和兩項技術指標達標事件的和事件，兩個事件的概率相加得到結果．
法二：設A、B兩項技術指標達標的概率分別為P₁、P₂，根據兩項技術指標達標與否互不影響．有且僅有一項技術指標達標的概率為

5

12

，至少一項技術指標達標的概率為

11

12

，列出方程組，解方程組即可．
（2）①任意抽出4個零件進行檢查，其中至多2個零件是合格品包括三種情況，即合格的零件數是0，1，2，這三種情況是互斥的，根據獨立重復試驗的概率公式和互斥事件的概率公式得到結果．
②依題意知合格品的個數符合二項分布，即ξ～B（4，

1

2

），根據期望和方差的公式寫出結果．

解答：解：（1）法一：至少一項技術指標達標事件（P=

11

12

）是僅有一項技術指標達標（P=

5

12

）
和兩項技術指標達標事件的和事件．
所以所求的概率為p=

1

2

．                          
法二：設A、B兩項技術指標達標的概率分別為P₁、P₂．
由題意得：

P1•(1-P2)+(1-P1)•P2= 5 12 1-(1-P1)•(1-P2)•= 11 12

，
解得：P1=

3

4

，P2=

2

3

或P1=

2

3

，P2=

3

4

，
∴P=P1P2=

1

2

．
即一個零件經過檢測為合格品的概率為

1

2

．
（2）①任意抽出4個零件進行檢查，其中至多2個零件是合格品的概率為
P(?≤2)=

C

0 4

(

1

2

)4+

C

1 4

(

1

2

)4+

C

2 4

(

1

2

)4=

11

16

，
②依題意知ξ～B（4，

1

2

），Eξ=4×

1

2

=2，Dξ=4×

1

2

×

1

2

=1．

點評：本題考查相互獨立事件同時發生的概率和離散型隨機變量的期望和方差，本題解題的關鍵是看出事件符合什么分布，判斷出符合什么分布，計算起來要簡單的多．