Question

在數列中，已知，且.

（1）若數列為等差數列，求p的值；

（2）求數列的前n項和；

（3）當時，求證：.

Answer 1

同下

解析:

（1）設數列{a_n}的公差為d，則a_n＝a₁＋(n－1)d，a_n＋1＝a₁＋nd．

由題意得，[a₁＋(n－1)d](a₁＋nd)＝n²＋3n＋2對n∈N*恒成立．

即d²n²＋(2a₁d－d²)n＋(a₁²－a₁d)＝n²＋3n＋2． 

所以即或

因為a₁＝p＞0，故p的值為2． ……………………………………………………3分

  （2）因為a_n＋1×a_n＝n²＋3n＋2＝(n＋1)(n＋2)，所以a_n＋2×a_n＋1＝(n＋2)(n＋3)．

所以＝．  ……………………………………………………………………5分

①當n為奇數，且n≥3時，＝，＝，…，＝．

相乘得＝，所以a_n＝p．當n＝1時也符合．

②當n為偶數，且n≥4時，＝，＝，…，＝．

相乘得＝，所以a_n＝a₂．

因為a₁×a₂＝6，所以a₂＝．所以a_n＝，當n＝2時也符合．

所以數列{a_n}的通項公式為a_n＝    ………………………7分

當n為偶數時，S_n＝p＋＋2p＋＋…＋p＋＝p×＋×

＝p＋．

當n為奇數時，S_n＝p＋＋2p＋＋3p＋＋…＋＋p

＝p×＋×＝p＋．

所以S_n＝         ………………………10分

（3）當n為偶數時，ni=1＝＋＋＋…＋＋≥4(＋＋…＋)

＝4[＋＋…＋]

＞2[＋＋＋…＋＋]

＝2(－＋－＋…＋－)＝．…………13分

  當n為奇數，且n≥2時， ni=1＝＋＋＋…＋＋

≥4(＋＋…＋)＋＞4（＋＋…＋）

＞2（＋＋…＋＋）＝．

…………………………………………………………15分

  又因為對任意n∈N*，都有＜，

故當n≥2時，ni=1＞．…………………………………………………………16分