Question

【題目】設函數，.

(1)若有兩個零點，求實數的取值范圍;

(2)若對任意的均有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1);(2)

【解析】

（1）的零點即為方程的根，設，利用導數研究的單調性，畫出的圖像，通過圖像可得結果；
（2）表示出，求出其導數，構造函數，再利用導數判斷出單調區間，進而求出的取值范圍

(1)的零點即為方程的根，

設，則，

則當時，，當或時，.

因此在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增，

且，，，，

從而的大致草圖如下:

由此要使得方程有兩個不同實根，則，即.

綜合上述，若有兩個零點，則實數的取值范圍為；

(2)設，下面我們通過討論的單調性求解的最小值，并保證.

由于，，

則在上單調遞增，

從而，即.

①當，即時，，故在上單調遞增，從而，從而.

②當，即時，則在上存在唯一零點，則當時，;當時，，

從而，考慮到，

從而

，

即.

由于是單調遞增函數在上的唯一零點，

要使得，則只需，

故只需保證，即，

故實數.

綜合上述，滿足條件的實數的取值范圍為.