Question

（2010•南充一模）已知a，b，c都是正數，且a+2b+c=1，則

1

a

+

1

b

+

1

c

的最小值是

6+4

2

．

Answer 1

分析：先利用a+2b+c=1與

1

a

+

1

b

+

1

c

相乘，然后展開利用均值不等式求解即可，注意等號成立的條件．

解答：解：∵a，b，c都是正數，且a+2b+c=1，
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

=（a+2b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）
=4+

2b

a

+

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

2b

c

≥4+2

2

+2+2

2

=6+4

2

，
當且僅當a=c=

2

b時等號成立．
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

的最小值是6+4

2

．
故答案為：6+4

2

點評：本題主要考查了均值不等式，利用基本不等式求函數最值是高考考查的重點內容，本題解題的關鍵是靈活運用“1”的代換，屬于中檔題．