Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數y=f′（x）的導數，若方程f′（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀f（x））為函數y=f（x）的“拐點”．已知函數f（x）=x³-6x²+5x+4，請回答下列問題．（1）求函數f（x）的“拐點”A的坐標
（2）檢驗函數f（x）的圖象是否關于“拐點”A對稱，對于任意的三次函數寫出一個有關“拐點”的結論；
（3）寫出一個三次函數G（x），使得它的“拐點”是（1，3）（不要過程）

Answer 1

解：（1）依題意，得：f′（x）=3x²-12x+5，∴f′′（x）=6x-12=0，得x=2
所以拐點坐標是（2，-2）
（2）設（x₁，y₁）與（x，y）關于（2，-2）中心對稱，并且（x₁，y₁）在f（x），所以就有，
由y₁=x₁³-6x₁²+5x₁+4，得-4-y=（4-x）³-6（4-x）²+5（x-4）+4
化簡的：y=x³-6x²+5x+4
所以（x，y）也在f（x）上，故f（x）關于點（2，-2）對稱．
三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的“拐點”是（-，f（-）），它就是函數f（x）的對稱中心
（或者：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；任何一個三次函數平移后可以是奇函數）．
（3），G（x）=a（x-1）³+b（x-1）²+3（a≠0），或寫出一個具體函數，如G（x）=x³-3x²+3x+2，或G（x）=x³-3x²+5x
分析：第一問通過對函數f（x）二次求導可求出拐點的坐標．第二問考查對稱，求出對稱點坐標，代入驗證即可；第三問是開放型題目，只要滿足條件即可．
點評：本題主考查函數的拐點，對稱性．考查學生利用導數解題的能力．一般的，三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的“拐點”是（-，f（-）），它就是函數f（x）的對稱中心（或者：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；任何一個三次函數平移后可以是奇函數）．