Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象如圖所示，k∈R，則f（k）+f（-k）的值一定（　　）

A．等于0

B．不小于0

C．小于0

D．不大于0

Answer 1

分析：由圖象可知：經過原點，可得f（0）=0=d，即f（x）=ax³+bx²+cx．于是f（k）+f（-k）=2bk²．由圖象可得：函數f（x）在[-1，1]上單調遞減，函數f（x）在x=-1處取得極大值．可得f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，且f′（-1）=0．即可得到b＜0，進而得出結論．

解答：解：由圖象可知：經過原點，∴f（0）=0=d，
∴f（x）=ax³+bx²+cx．
∴f（k）+f（-k）=2bk²．
由圖象可得：函數f（x）在[-1，1]上單調遞減，函數f（x）在x=-1處取得極大值．
∴f′（x）=3ax²+2bx+c≤0在[-1，1]上恒成立，且f′（-1）=0．
得到3a-2b+c=0，f′（1）=3a+2b+c＜0，
兩式相加得到b＜0，
∴f（k）+f（-k）=2bk²≤0．
故選D．

點評：本題綜合考查了利用導數研究函數的單調性極值、數形結合等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．