Question

【題目】如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a ， M為BD1的中點，N在A1C1上，且滿足|A1N|＝3|NC1|.

（1）求MN的長；
（2）試判斷△MNC的形狀．

Answer 1

【答案】
（1）解：以D為原點，建立空間直角坐標系，

并設正方體邊長為a，則B(a，a,0)，D1(0,0，a)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，C(0，a,0)，M( a， a， a)，N( a， a，a)，

∴|MN|＝ ＝ a.

（2）解：∵ ＝(－ a， a， a)， ＝(－ a， a，－ a)， ＝(－ a， a，－a)，

∴ · ＝ a2＋ a2－ a2＝0，∴MN⊥MC，∴△MNC是直角三角形．

【解析】本題根據題意可以選用坐標法來解題，根據向量的相關知識及空間線段長計算公式：及兩向量數量積等于零得到兩向量垂直，解出本題。
【考點精析】關于本題考查的棱柱的結構特征，需要了解兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形才能得出正確答案．