Question

【題目】如圖所示，四棱錐的底面是矩形，側面是正三角形，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）若為中點，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取AB中點H，連結PH，推導出PH⊥AB，由勾股定理得PH⊥HC，從而PH⊥平面ABCD，由此能證明平面PAB⊥平面ABCD．

（2）以H為原點，HA為x軸，在平面ADCB過H作AB的垂線為y軸，以HP為z軸，建立空間直角坐標系H﹣xyz，利用向量法能求出二面角．

（1）取中點，連接，∵是正三角形，為中點，，

∴，且.∵是矩形，，，

∴.又∵，∴，∴.

∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.

（2）以為原點,HA為x軸，在平面ADCB過H作AB的垂線為y軸，以HP為z軸，建立建立如圖所示的空間之間坐標系，則，，，，，則，.設平面的法向量為，由，解得，即平面的一個法向量為.又平面的一個法向量為，設二面角的平面角為，

∴，又∵，∴，

∴二面角的平面角為.