Question

某地區的農產品A第x天（1≤x≤20，x∈N^*）的銷售價格p=50-|x-6|（元∕百斤），一農戶在第x天（1≤x≤20，x∈N^*）農產品A的銷售量q=a+|x-8|（百斤）（a為常數），且該農戶在第7天銷售農產品A的銷售收入為2009元．
（1）求該農戶在第10天銷售農產品A的銷售收入是多少？
（2）這20天中該農戶在哪一天的銷售收入最大？為多少？

Answer 1

分析：（1）第7天的銷售價格p=50-|x-6|=50-|7-6|，銷售量q=a+|x-8|=a+|7-8|，得第7天的銷售收入W₇=pq=49×（a+1）=2009，可得a的值；從而求得第10天的銷售收入W₁₀=p₁₀•q₁₀；
（2）若設第x天的銷售收入為W_x，則W_x=pq=（50-|x-6|）（a+|x-8|），去掉絕對值后是分段函數Wx=

(44+x)(48-x)   1≤x≤6 2009   x=7 (56-x)(32+x)   8≤x≤20

；
分別在1≤x≤6時，8≤x≤20時，求得函數W_x的最大值，并通過比較得出，第幾天該農戶的銷售收入最大．

解答：解：（1）由已知第7天的銷售價格p=50-|x-6|=50-|7-6|=49，銷售量q=a+|x-8|=a+|7-8|=a+1．
∴第7天的銷售收入W₇=pq=49×（a+1）=2009（元）．解得，a=40；
所以，第10天的銷售收入為W₁₀=p₁₀•q₁₀=46×42=1932（元）．
（2）設第x天的銷售收入為W_x，則Wx=

(44+x)(48-x)   1≤x≤6 2009   x=7 (56-x)(32+x)   8≤x≤20

；
當1≤x≤6時，Wx=(44+x)(48-x)≤(

(44+x)+(48-x)

2

)2=2116（當且僅當x=2時取等號），∴當x=2時有最大值W₂=2116；
當8≤x≤20時，Wx=(56-x)(32+x)≤(

(56-x)+(32+x)

2

)2=1936（當且僅當x=12時取等號），∴當x=12時有最大值W₁₂=1936；
由于W₂＞W₇＞W₁₂，所以，第2天該農戶的銷售收入最大．

點評：本題考查了含有絕對值的函數模型的應用；含有絕對值的函數，通常轉化為分段函數來解答，本題是中檔題目．