Question

已知函數f（x）=2lnx-ax²+1
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區間及f（x）得最大值；
（2）令g（x）=f（x）+x，若g（x）在定義域上是單調函數，求實數a得取值范圍；
（3）試比較與（n∈N，n≥2）得大小．

Answer 1

解：（1）當a=1時，f′（x）=-2x=（x＞0），
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
所以函數f（x）的增區間為（0，1），減區間為（1，+∞），
且當x=1時f（x）取得最大值f（1）=0；
（2）g（x）=2lnx-ax²+1+x，g′（x）=-2ax+1=（x＞0），
若g（x）在定義域上單調遞增，則g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即-2ax²+x+2≥0恒成立，
也即2a≤恒成立，而=-＞0，
所以2a≤0，即a≤0；
若g（x）在定義域上單調遞減，則g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即2a≥恒成立，
因為=-＞0，所以此時不等式g′（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，
綜上，a的取值范圍是a≤0；
（3）＞（n∈N，n≥2），證明如下：
由（1）知2lnx-x²+1≤0，即2lnx≤x²-1（x=1時取等號），
則當x＞1時，，
所以n≥2時，=，
所以，，，…，，
以上各式相加得，＞1-+…+=1+-=，
所以＞．
分析：（1）當a=1時，求出導數f′（x），在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得單調區間，由單調性可得函數最大值；
（2）求出導數g′（x），分情況討論：若g（x）在定義域上單調遞增，則g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；若g（x）在定義域上單調遞減，則g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，然后分離出參數a后轉化為函數最值解決；
（3）由（1）可得不等式a=1時f（x）≤f（1），可得當x＞1時，，則n≥2時，=，分別令n=2，3，…，n可得n-1個不等式，相加后化簡即可得到結論；
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、最值，考查學生綜合運用知識解決問題的能力，（3）的解決關鍵是利用（1）問結論構造恰當不等式．