Question

（1）指出下列兩個函數的奇偶性①；②y=x²-3|x|+2
（2）已知函數f（x）=-x²+mx-2是偶函數，求m的值；
（3）已知函數g（x）=ax³-bx+3，且g（-2）=5，求g（2）的值．

Answer 1

解：（1）∵的定義域是{x|x≠0}，f（-x）=-x-=-f（x），
∴函數f（x）是奇函數；
∵y=x²-3|x|+2的定義域是R，且有（-x）²-3|-x|+2=x²-3|x|+2，
∴此函數是偶函數．
（2）∵函數f（x）=-x²+mx-2是偶函數，∴f（1）=f（-1），
即-1+m-2=-1-m-2，解得m=0．
（3）∵函數h（x）=ax³-bx的定義域是R，且h（-x）=-ax³+bx=-h（x），
∴函數h（x）是奇函數，則h（2）=-h（-2），
∵g（2）=h（2）+3 ①，g（-2）=h（-2）+3=5 ②，
∴①+②得，g（2）=1．
分析：（1）先求函數的定義域，再求出f（-x）和f（x）的關系，根據奇（偶）函數的定義判斷；
（2）根據偶函數的定義知f（1）=f（-1），代入解析式求出m的值；
（3）令h（x）=ax³-bx判斷出是奇函數，列出g（2）和g（-2）的方程，根據題意和奇函數的關系式求出g（2）的值．
點評：本題的考點是函數奇偶性的判斷和應用，由定義判斷函數奇偶性必須先求出定義域，對于利用奇偶性求值，即利用關系式“f（x）=f（-x）”“f（x）=-f（-x）”求函數值．