Question

已知圓A：（x+2）²+y²=

25

4

和圓B：（x-2）²+y²=

1

4

，若圓P與圓A、圓B均外切，
（Ⅰ）求圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）延長PB與點(diǎn)P的軌跡交于另一點(diǎn)Q，若PQ的中點(diǎn)R在直線l：x=a（a≤

1

2

）上的射影C滿足：

PC

•

QC

=0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由兩圓外切的性質(zhì)得PA-PB=2，再由雙曲線的定義知點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
 依據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出雙曲線的方程．
（Ⅱ） 由直角三角形的性質(zhì)得RC=

PQ

2

=x_R-a，把PQ的方程的方程代入雙曲線方程，利用判別式以根與系數(shù)的
關(guān)系，得到k²的范圍，由弦長公式求出PQ，結(jié)合k²的范圍求出a 的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，則PA=r+

5

2

，PB=r+1，兩式相減得PA-PB=2，
由雙曲線的定義知點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，由A（-2，0），B（2，0），
故 2a=2，c=2，∴b=

3

，故其方程為x²-

y2

3

=1（x≥1）．
（Ⅱ）由

PC

•

QC

=0知，

PC

⊥

QC

，故P、Q、C 構(gòu)成直角三角形，點(diǎn)R到直線l的距離等于
RC=

PQ

2

=x_R-a  ①．
當(dāng)PQ的斜率不存在時(shí)，R與 B重合，a=-1，滿足條件．
當(dāng)PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)PQ的方程為 y=k（x-2），代入雙曲線方程得：（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，
則由

△＞0 x1+x2= 4k2 3-k2 ＞0 x1•x2= 4k2+3 3-k2 ＞0

 解得 k²＞3，且 x_R=

x1+x2

2

=

2k2

k2-3

，
PQ=

1+k2

•|x₁-x₂|=

6(k2+1)

k2-3

，代入①可得 a=

-k2-3

k2-3

=-1-

6

k2-3

，
由 k²＞3，得 a＜-1．
綜上，a≤-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義，直線和圓，圓和圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．由直角三角形PQC中，
得到RC=

PQ

2

=x_R-a 是解題的突破口．