Question

已知函數(shù)f（x）=x³，g （x）=x+

x

．
（Ⅰ）求函數(shù)h （x）=f（x）-g （x）的零點個數(shù)．并說明理由；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{ a_n}（n∈N^*）滿足a₁=a（a＞0），f（a_n+1）=g（a_n），證明：存在常數(shù)M，使得對于任意的n∈N^*，都有a_n≤M．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由h（x）=x3-x-

x

知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，且h（1）=-1＜0，h（2）=6-

2

＞0，再研究函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，以確定零點個數(shù)即可
（Ⅱ）記h（x）的正零點為x₀，即x03=x0+

x0

，當(dāng)a＜x₀時，由a₁=a，即a₁＜x₀，而，a₂＜x₀．由此猜測a_n＜x₀．當(dāng)a≥x₀時，由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（x₁，+∞）時，h（x）單調(diào)遞增，h（a）＞h（x₀）=0，從而a₂＜a，由此猜測a_n＜a．然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：（Ⅰ）由h（x）=x3-x-

x

知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，且h（1）=-1＜0，h（2）=6-

2

＞0，則x=0為h（x）的一個零點，且h（x）在（1，2）內(nèi)有零點，
∴h（x）至少有兩個零點．
由h（x）=x(x2-1-x-

1

2

)，記g(x)=x2-1-x-

1

2

，則g′(x)=2x+

1

2

x-

3

2

，
當(dāng)x∈（0，+∞）時，g（x）單調(diào)遞增，故可判斷出h（x）在（0，+∞）僅有一個零點，
綜上所述，h（x）有且只有兩個零點．
（Ⅱ）記h（x）的正零點為x₀，即x03=x0+

x0

，
（1）當(dāng)a＜x₀時，由a₁=a，即a₁＜x₀，而a23=a1+

a1

＜x0+

x0

=x03，∴a₂＜x₀．
由此猜測a_n＜x₀．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時，a₁＜x₀，成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時a_k＜x₀成立，則當(dāng)n=k+1時，由ak+13=ak+

ak

＜x0+

x0

=x03，知a_k+1＜x₀．
因此當(dāng)n=k+1時，a_k+1＜x₀成立．
故對任意的n∈N^*，a_n≤x₀成立．
（2）當(dāng)a≥x₀時，由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，h（x）單調(diào)遞增，∴h（a）＞h（x₀）=0，從而a₂≤a，由此猜測a_n≤a．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時，a₁≤a，成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時a_k＜a成立，則當(dāng)n=k+1時，由ak+13=ak+

ak

＜a+

a

＜a3，知a_k+1＜a．
因此當(dāng)n=k+1時，a_k+1＜a成立．故對任意的n∈N^*，a_n≤a成立．
綜上所述，存在常數(shù)M，使得對于任意的n∈N^*，都有a_n≤M．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和運(yùn)用，解題時要注意不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用和數(shù)不歸納法的證明過程．